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微分方程式 1

求積法のマップ的なものをつくったんだけど、どっかに行っちゃって悲しみ深いです。
とりあえず書いていきますね。

ここで扱うのは常微分方程式です。
微分方程式が何かなんて問題は偉い先生に任せます。笑
だから、ここでは解法の理論を積み上げていこうと思います。

まず
y' = f(x)
という方程式があるとしましょう。yはxの関数で、左辺が微分されています。このように、方程式の中に、yの微分が含まれているものを常微分方程式と言います。
Wikipediaでは「未知関数とその導関数からなる等式で定義される方程式である微分方程式の一種で、未知関数が本質的にただ一つの変数を持つものである場合をいう」
とありました。
最初の点までが、微分方程式の説明で、後半が「常」の説明ですね。1変数関数の微分方程式が、常微分方程式ということでしょう。完全形とかは陰関数表示だから、2変数に見えるけど、実際は1変数関数だからね。

そういうわけで、その方程式を満たすyを求めようということですが、その中で最も易しい理論の1つが求積法です。

求積法y' = f(x)
「左辺が微分されてるんだから、微分の逆の操作が積分だろ?じゃあ、両辺を積分すれば求まるんじゃね。」という方法です。

つまり
y' = f(x)
となっているものの両辺を積分して、
y = ∫f(x)dx + C(定数)
とする。
このようにy を求める方法が求積法です。

Cは初期条件で決まるわけです。

初期条件てなんだよという人のために。例えば x = 2 のとき y = 3 だとすると、
3 = ∫f(2)dx + C
となって、未知数1つに式1つというわけで、Cが求まると保証されるわけです。
のちのちこの初期値によって、どのように微分方程式を満たす関数が変わっていくのかということにもなってきますから、初期値大事~

次は変数分離形からはじめて、リカッチまで行きたい。
そのつぎは完全形かな。完全形が今のところ好き。

ベクトル解析 1

今日の分を書いてみた。

ベクトル場の発散
まずベクトル場についてだけど、これは3つの変数を持つベクトル関数という定義でいいだろう。3つの変数を持つスカラー関数のことをスカラー場というから。

ということでまずベクトル場の発散を定義します。

V:ベクトル場
⇒3変数x,y,zの関数、V₁,V₂,V₃
を用いて、
V = (V₁,V₂,V₃)とあらわすことができる。
ここで、ベクトル場Vの発散を 
   divV = ∂V1/∂x + ∂V2/∂y + ∂V3/∂z
と定める。

divVというのはスカラー場になる。
他にも書き方としては
∇・V = divV とかもある。
この証明は易しくて、内積がゼロということと、単位ベクトルの内積が1ということを使う。

この続きが結構面白くて、
div(gradf) = (∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2)f
という結果になる。
この証明も易しくて、∇・∇fを計算すればすぐに出てくるそこで、∇・∇ = ∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2 = Δとして書くことにしよう。
ΔをLaplaceの演算子 or Laplacian という。
綴り間違ってそう。orを適当に使ってたらおこられそうだな。まあ、ここで大切なのはそんなことじゃないので。

また
Δf = 0
をLaplaceの方程式という。その解を(微分方程式だから、解は関数だけど)調和関数という。
調和関数はとても応用面が多い関数。
似ているものにボアソンの方程式があるよ。
ベクトル場の発散の意味かぁ、もう余白が足りないかな。笑

kobanashi3

December 19, 2017Sieve of ElastensesIt is a very useful method for prime factorization. I will introduce it from the principle first. I will not mention the precise meaning of the words as it will be described in plain language. Natural numbers are made up of products of natural numbers. These natural numbers are called the factors of the first natural number. Let N be the initial natural number. Let's average N by product. In other words, let's try √.√ N.Here we get a factor of N greater than √ N. Letting it be a, the square of a is larger than N. Therefore, when dividing the factor of N into two, taking one factor larger than √ N, one becomes a factor smaller than √ N.For this reason, by dividing by the number √ N or less, N can be divided into two factors. If it can not be divided, N is a prime number. Repeat the same operation for the two factors you got in that way. Then repeat the operation until the factor becomes a prime number. By doing so, the number of factorization…

kobanashi2

Group, it is very important things for students.The position at the school is depend by it.My class have some groups. But no parson belongs more 2 groups.So If I heard Okazaki was called, I think the group. I listen that conversation… “Where do you know Kimura is?” “I’m sorry, I don’t.But I saw often he is with Kawasaki, So I think he spend with the group of Kawasaki.”
etc… However, I don’t get belonging any group.So I told my friend that you think that I should belong a group?” He said that” I don’t. We get belonging no group”.

kobanashi

"Don't come in this cercle!"
   I can't go near him.I think that I talk you about the reason I was said that.  A few minutes ago...

    I play ofthen with him because his house is near mine and his parents that of mine are on good therms.  He is four years younger than me.  Today, I hung out with him near my house.  But when I have to go back home due to my piano lessen,  he was angry.  I think that he still want not to do.  So I have him to understand the reasons.  I told that we meet again soon, too... But he don't understand. (I think he is very selfish.)  Therefore I have the situation.
    He sit down in the cercle and looks like veru sulky.
    I close the cercle.  He says "Never come into the area!".
    He stared me.  I think a moment, and say "Excuse me".  I got into the cercle.  He told I can't come, I can't come...  He tacle me, but I beared the attack.  He draw the cercle in that.  The size is Just I am in.  But I don'…

小話3

エラストテネスのふるい
素因数分解にとても使える手法である。まず原理から紹介しようと思う。平易な言葉で述べてゆくので言葉の厳密な意味は見ていないことにする。自然数は自然数の積で構成されている。これらの自然数をはじめの自然数の因数と言う。初めの自然数をNと言うことにする。とりあえず、Nを積で平均しよう。つまり、√をつけてみよう、ということ。
√N。
ここで、√Nより大きいNの因数を取ってくる。それをaとすると、aの2乗はNより大きくなる。だから、Nの因数を2つに分けたとき、√Nより大きい因数を一つとってくると、あと一つは√Nより小さい因数となる。
 このような理由で、√N以下の数で割ることで、Nは因数2つにわけることができる。割ることができない場合はNは素数である。そのようにして手に入れた、2つの因数に対して同じ操作を繰り返す。そして、因数が素数になるまでこれまで操作を繰り返す。そうすることで、因数分解する数が小さくなるので、早い操作が可能になり、とても便利である。
 ここで合わせて使いたいのが、2と3と4と5と9が因数にふくまれているのかと言うことの判定法である。数学的にはひどいもんだが、安易な言葉を使うと、自然数の2つに一つは2を因数に持ち、3つに一つは3を因数に持つのである。そのため、この判定は非常に役立つのである。
 2の判定法は下一桁が偶数であるか。そうであれば2を因数に含む。3の判定法は各桁の和が3で割り切れるか。4の場合は下二桁が割り切れるか。5は下一桁が0か5。9は各桁の和が9で割り切れること。7は少し難しい。これらの解説は数多あるサイトに委ねることにする。
試しに28938を素因数分解してみよう。
下二桁に注目。おっ、4では割れないが、2では割れる。
14469。
各桁を足してみよう。1+4+4+6+9=24。よし。割れる。足したのが大きかったときはそれも足して考えればいい。2+4=6。うん。割れる。と言うことで
4823。
これは2でも3でも5でも割れない。エラストテネスのふるいを発動。
√4823=69.44…
70までの素数で考えよう。次に小さい7で割ってみる。割れた!
689。
もう一息。√689=26.24…つぎは11……割れない。では13はどうだろう。できた。
53。
最後に√53=7.28…と言うことで、8まで(7まで)の素数で53を割るけれども割れない。よし、…

紹介

数学書
原岡喜重著 微分方程式 増補版
村上正康・佐藤恒雄・野澤宗平・稲葉尚志共著 教養の線形代数 六訂版
志賀浩二著 線形代数30講
馬場敬之・高杉豊著 演習微分積分 キャンパスゼミ
原岡喜重著 教程微分積分
松坂和夫著 集合・位相入門

アルゴリズム
 Anany Levitin Maria Levitin著 黒川洋・松崎公紀訳 アルゴリズムパズル オイラリージャパン

プログラミング
高橋 麻奈著 やさしいJava

読み物
久賀道郎著 ガロアの夢
エドワード・フレンケル著 青木薫訳 数学の大統一に挑む
高木貞次著   復刻版 近世数学史談・数学雑談
結城浩著 数学ガールシリーズ
サイモン・シン著 青木薫訳 フェルマーの最終定理

サイト
マスオ著 高校数学の美しい物語 https://mathtrain.jp/
数学問題集「考える葦」 www.maroon.dti.ne.jp/sgk/

知的飲料
Dr.pepper