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求積法のマップ的なものをつくったんだけど、どっかに行っちゃって悲しみ深いです。 とりあえず書いていきますね。 ここで扱うのは常微分方程式です。 微分方程式が何かなんて問題は偉い先生に任せます。笑 だから、ここでは解法の理論を積み上げていこうと思います。 まず y' = f(x) という方程式があるとしましょう。yはxの関数で、左辺が微分されています。このように、方程式の中に、yの微分が含まれているものを常微分方程式と言います。 Wikipediaでは「 未知関数とその導関数からなる等式で定義される方程式である微分方程式 の一種で、未知関数が本質的にただ一つの変数を持つものである場合をいう」 とありました。 最初の点までが、微分方程式の説明で、後半が「常」の説明ですね。１変数関数の微分方程式が、常微分方程式ということでしょう。完全形とかは陰関数表示だから、２変数に見えるけど、実際は１変数関数だからね。 そういうわけで、その方程式を満たすyを求めようということですが、その中で最も易しい理論の１つが求積法です。 求積法 y' = f(x) 「左辺が微分されてるんだから、微分の逆の操作が積分だろ？じゃあ、両辺を積分すれば求まるんじゃね。」という方法です。 つまり y' = f(x) となっているものの両辺を積分して、 y = ∫f(x)dx + C(定数） とする。 このようにy を求める方法が求積法です。 Cは初期条件で決まるわけです。 初期条件てなんだよという人のために。例えば　x = 2 のとき　y = 3 だとすると、 3 = ∫f(2)dx + C となって、未知数1つに式1つというわけで、Cが求まると保証されるわけです。 のちのちこの初期値によって、どのように微分方程式を満たす関数が変わっていくのかということにもなってきますから、初期値大事～ 次は変数分離形からはじめて、リカッチまで行きたい。 そのつぎは完全形かな。完全形が今のところ好き。

今日の分を書いてみた。 ベクトル場の発散 まずベクトル場についてだけど、これは3つの変数を持つベクトル関数という定義でいいだろう。3つの変数を持つスカラー関数のことをスカラー場というから。 ということでまずベクトル場の発散を定義します。 V:ベクトル場 ⇒3変数x,y,zの関数、V₁,V₂,V₃ を用いて、 V = (V₁,V₂,V₃）とあらわすことができる。 ここで、ベクトル場Vの発散を　    divV = ∂V1/∂x + ∂V2/∂y + ∂V3/∂z と定める。 divVというのはスカラー場になる。 他にも書き方としては ∇・V = divV とかもある。 この証明は易しくて、内積がゼロということと、単位ベクトルの内積が1ということを使う。 この続きが結構面白くて、 div(gradf) = (∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2)f という結果になる。 この証明も易しくて、∇・∇fを計算すればすぐに出てくるそこで、∇・∇ = ∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2 = Δとして書くことにしよう。 ΔをLaplaceの演算子 or Laplacian という。 綴り間違ってそう。orを適当に使ってたらおこられそうだな。まあ、ここで大切なのはそんなことじゃないので。 また Δf = 0 をLaplaceの方程式という。その解を（微分方程式だから、解は関数だけど）調和関数という。 調和関数はとても応用面が多い関数。 似ているものにボアソンの方程式があるよ。 ベクトル場の発散の意味かぁ、もう余白が足りないかな。笑