ベクトル解析 1

今日の分を書いてみた。

ベクトル場の発散
まずベクトル場についてだけど、これは3つの変数を持つベクトル関数という定義でいいだろう。3つの変数を持つスカラー関数のことをスカラー場というから。

ということでまずベクトル場の発散を定義します。

V:ベクトル場
⇒3変数x,y,zの関数、V₁,V₂,V₃
を用いて、
V = (V₁,V₂,V₃)とあらわすことができる。
ここで、ベクトル場Vの発散を 
   divV = ∂V1/∂x + ∂V2/∂y + ∂V3/∂z
と定める。

divVというのはスカラー場になる。
他にも書き方としては
∇・V = divV とかもある。
この証明は易しくて、内積がゼロということと、単位ベクトルの内積が1ということを使う。

この続きが結構面白くて、
div(gradf) = (∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2)f
という結果になる。
この証明も易しくて、∇・∇fを計算すればすぐに出てくるそこで、∇・∇ = ∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2 = Δとして書くことにしよう。
ΔをLaplaceの演算子 or Laplacian という。
綴り間違ってそう。orを適当に使ってたらおこられそうだな。まあ、ここで大切なのはそんなことじゃないので。

また
Δf = 0
をLaplaceの方程式という。その解を(微分方程式だから、解は関数だけど)調和関数という。
調和関数はとても応用面が多い関数。
似ているものにボアソンの方程式があるよ。
ベクトル場の発散の意味かぁ、もう余白が足りないかな。笑

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